Representación gráfica de campos escalares

Si un campo escalar \(f(x,y)\) tiene dominio en \(\mathbb R^2\), para representar su gráfico igualamos \(z=f(x,y)\) y, con nuestros conocimientos de Geometría Analítica, podemos identificar y representar la superficie que es el gráfico de \(f\). Por otra parte, para representar sus conjuntos de nivel, igualamos \(f(x,y)\) a valores constantes \(k\): \(f(x,y)=k\). Y encontramos ecuaciones de curvas en \(\mathbb R^2\), incluidas en el dominio de \(f\).

Si la función tiene dominio en \(\mathbb R^3\), no podemos representar el gráfico; con los conjuntos de nivel, se trabaja de manera similar igualando la fórmula de la función a una constante, pero ahora los conjuntos de nivel serán superficies en \(\mathbb R^3\).

Estudiemos el ejemplo de los campos escalares \(f:\mathbb R^2\to\mathbb R,\;f(x,y)=x^2+y^2\), \(g:\mathbb R^3\to\mathbb R,\;g(x,y,z)=x^2+y^2\) y \(h:\mathbb R^3\to\mathbb R,\;h(x,y,z)=x^2+y^2-z\).

Empecemos por \(f\). Como su dominio está en \(\mathbb R^2\) y su imagen en \(\mathbb R\), su gráfico está en \(\mathbb R^3\) y podemos representarlo, usando una nueva variable para representar las imágenes: \(z=x^2+y^2\). En esta expresión reconocemos un paraboloide elíptico. Además, igualando \(k=x^2+y^2\) encontramos que, para valores positivos de \(k\), son ecuaciones de circunferencias con centro en el origen de coordenadas; si \(k=0\), se trata de un punto y, si \(k<0\) se trata del conjunto vacío (los conjuntos de nivel correspondientes a valores \(k\) que no pertenecen a la imagen de \(f\), son todos el vacío).

Ahora, te toca trabajar con las funciones \(g\) y \(h\).