PRIMERA ACTIVIDAD OBLIGATORIA
Un tornillo de Arquímedes es una máquina que presenta diversos usos.
De acuerdo a Wikipedia: TornilloArquímedesEnWikipedia .
Nos interesa la fabricación de uno de estos tornillos.
Para construir un tornillo sin fin como los de la imagen (usados para mover engranajes de una máquina o para arrastrar material),
se puede pensar en una helicoide, que es una superficie (del tipo de las que estudiaremos en la unidad 4), constituida por la unión de hélices cilíndricas (como las presentadas en los ejercicios 20 y 21 del TP1), como se ve en la imagen de la izquerda, a continuación:
Para construir este tipo de piezas, puede por ejemplo, utilizarse prensas o unirse porciones de material (elaboración artesanal; hay otras maneras). En las imágenes de la derecha, se corta una corona circular y se la dobla, usando una prensa, para obtener la forma deseada. Acá entran en juego características del material, que permite hacer esto sin romperse o deformarse de maneras no deseadas. (En la práctica suele cortarse una corona circular con radios exterior e interior apropiados, mayores que los \(R\) y \(r\) nominales, de acuerdo a una fórmula determinada.)
La siguiente ecuación corresponde a una hélice, definida para valores de \(t\) en un intervalo \([a,b]\):
\(\mathbf r_0(t)=(\rho\cos(t),\rho\sin(t),\alpha t), \; a\leq t\leq b,\)
donde \(\rho>0\) y elegimos \(\alpha>0\). Trabajaremos en el intervalo \([a,b]=[0,2\pi]\).
- Realice un esbozo de la hélice.
- ¿Qué representa el número \(\rho\)?
- ¿Cuál es la influencia de \(\alpha\)? Es decir, ¿qué cambia si \(\alpha\) es pequeño o si es grande? ¿Cuánto varía la cota (variación en el eje \(z\)) cuando \(t\) recorre los valores de \(0\) a \(2\pi\)?
Se tiene una corona circular, como la de la imagen a continuación, que será cortada por la línea punteada para darle forma usando una prensa (como vimos en imágenes anteriores).
4. Para cada una de las circunferencias (la interior, de radio \(r\), y la exterior, de radio \(R\)), calcule el perímetro.
5. Calcule la longitud de la hélice exterior que se obtiene al separar las partes de la corona circular a ambos lados de la línea punteada, una distancia \(\beta>0\) (suponiendo que solo varían las cotas de los puntos de las curvas).
6. Calcule cuánto debe estirarse el material (compare las longitudes de la circunferencia de radio \(R\) y de la hélice correspondiente).
ENTREGA DEL INFORME DEL TRABAJO:
Una vez terminada esta tarea, debe escribir un informe con las respuestas en papel y será entregada en clase. Deben constar los nombres de los miembros del grupo (nombre, apellido), el legajo de cada uno y la especialidad (civ, ind, mec, pet). Además de entregarla personalmente en clase, deberán realizar una entrega en formato digital. Para ello deberán escribir el informe completo en latex (puede usar la plataforma overleaf u otros procesadores online gratuitos y pedirle a alguna ia ayuda para convertir su texto a este formato .tex). Este informe debe contar con los datos completos de cada miembro del grupo (nombre, apellido, legajo y especialidad) y deberá ser entregado por plataforma por cada uno de los miembros del grupo. Para hacer esta entrega, deben entrar en la sección siguiente y subir su archivo en formato .tex y el compilado, en formato .pdf.
Estos son algunos links que pueden resultar de interés:
https://explorable.com/es/tornillo-de-arquimedes
https://www.sciencedirect.com/topics/engineering/archimedean-screw
https://www.youtube.com/watch?v=mhr-3Ik26aw
https://www.youtube.com/watch?v=jBu6wiHxPMQ
https://www.tiktok.com/@aprendizindustriall/video/7493217268499778822?lang=es